Аксиоматический метод – важнейший способ структурирования, а также увеличения научных знаний среди различных областей – формировался в течение более чем двух тысячелетий научной эволюции. Фундаментальный вклад в математику вносит именно аксиоматическая методика.
Многие учёные считают математическую науку достигшей идеала только в то время, когда она пользуется аксиоматическим методом. Другими словами, когда она принимает характер аксиоматической теории.
История аксиоматического метода
Платон один из величайших мыслителей древности
Становление сегодняшнего толкования сущности аксиоматической теории осуществлялось в течение двух десятков веков формирования науки.
Знаменитый мыслитель античных времен Платон (427-347 гг. до н.э.) был одним из первых, поставивших себе целью устроить всё научное знание с помощью дедукции.
Труды и сочинения, связанные с геометрией, стали появляться задолго до Платона, к таким относятся учебники Гиппократа Хиосского, Демокрита.
Однако только он предложил ставить во главу угла каждой науки ключевые понятия, с опорой на которые будут делаться новые открытия.
К сожалению, эта структура в его трудах прослеживается весьма неотчетливо и нечетко, черты ее лишь угадываются в его сочинении, созданном, к слову, на мистическом фундаменте.
Наследники Платона
Ещё один древний ученый Аристотель
Учеником Платона, который смог перешагнуть эти суеверия, стал великий Аристотель.
Тот снял покров с намерений своего учителя – требований к рационализации любой науки, собрал в себе практически каждую отрасль науки.
Как считается, Аристотель и стал родоначальником научного метода, а также некоторых наук.
Согласно его трудам, наука есть ничто иное как множество положений, принадлежащих к той или иной сфере знания. К этим положениям относятся и те, которые являются столь очевидными, что в доказательстве их нет никакой необходимости – аксиомы.
Оставшиеся положения, которые нужно выводить из аксиом, – теоремы. Данная концепция им принималась в первую очередь как руководство к математике. Кстати, в появившихся всего полстолетия после «Началах» четко прослеживается отпечаток концепции Аристотеля.
Свыше двух тысяч лет труд Евклида был, по сути, непревзойденным учебником для геометров всего мира. Данное сочинение было самой первой научной книгой за всю историю.
Там геометрия полностью представлялась как аксиоматическая теория, построенная на принципах, сформулированных Аристотелем и Платоном.
Пятый постулат Евклида
Сильнее всего изучавших систему Евклида интересовал пятый постулат:
Если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух прямых, то продолженные неограниченно эти прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых.
Сложность этой формулировки по сравнению с остальными постулатами наводило ученых на мысль о доказательстве этого утверждения и таким образом исключения его из перечня постулатов.
Подобные разработки безуспешно проводились Посидонием (I в. д.н.э.), Санкери и Ламбертом (оба XVIII).
То была самая настоящая Евклидова эра в геометрической истории, эпоха его последователей и преемников, время, когда вся геометрическая наука строилась по наивно-аксиоматическому принципу.
После столетий безуспешных попыток доказательства пятой аксиомы Евклида эта эпоха подошла к концу, оставив после себя уникальное достижение – открытие иного понимания самой геометрии в целом, аксиоматического метода ее изучения в частности.
В 1826 году на заседании математического факультета Казанского университета профессор Н.И. Лобачевский впервые сообщил о грандиозном открытии: «Теории параллельных прямых», в основе которой лежит V постулат.
Понимание значимости этой теории пришло не сразу – Лобачевский не только доказал независимость пятого постулата, но и вывел из этого факта, что вместе с геометрией Евклидовой существует и отличная от нее, для которой постулат этот ошибочен!
Более того, всё это открыло совершенно иной ракурс на саму суть аксиоматики. «Истинны лишь те утверждения, которые могут быть с помощью логики выведены из существующих аксиом» говорил Лобачевский.
Помимо всего прочего, неевклидова геометрия доказала неправоту ученых, считавших Евклидову геометрию единственным возможным учением о пространстве.
Работы Д. Гильберта
Приблизительно в начале второй половины XIX века математическое общество в большинстве своём признало заслуги Лобачевского и приступило к последующему развитию его идей.
Тогда ещё острее стала дилемма построения геометрии на основании аксиом. Публиковались работы, связанные с этим, в том числе набравшая популярность работа Д. Гильберта «Основания геометрии» (1889).
В своем труде автор описал полную аксиоматическую теорию геометрии Евклида, то есть несколько положений, на основании которых могли доказываться другие. Далее автор доказывает нелогичность и раскрывает множественные противоречия данной системы.
После выхода книги все вопросы про логическое обоснование аксиоматической теории были полностью закрыты. Помимо этого, до конца поняты столпы, характеризующие структуру такого подхода к пониманию геометрической науки и структура аксиоматики в целом.
Приняты основы построения аксиоматических теорий и выявлены вопросы, требующие ответа при ее построении – те, что связаны с неоднозначностью, согласованностью данной теории и правильности ее аксиоматической системы.
Разные аксиоматические системы, построенные на отличающихся базисных понятиях, были обычным делом и до книги Гильберта, и после (до самого начала 20-го века). Так завершился следующий шаг эволюции аксиоматики и построения геометрии за счёт нее.
Итоги эволюции аксиоматики
Логика связала между собой все области математики
Анализ геометрии, которым начал заниматься Лобачевский, вывел учёных к формированию одного из фундаментальных определений математической науки нашего времени – термин «пространство».
Он обозначает некое множество схожих предметов любой природы (точки, вектора, фигуры и др.), взаимоотношения которых соблюдаются для какой-то аксиоматической системы.
Данная точка зрения позволила множеству идей геометров проникать в бесчисленное количество сфер многих наук, будучи оплодотворёнными методом аксиоматики.
В то же время эта наука развивалась и превращалась в гораздо более единую науку, размытие границ между разделами происходило всё отчетливее.
Самым настоящим цементом, скреплявшим воедино все основания математических областей, стала логика математики. За счёт нее исследовался путь доказательства, путь выведения теоремы с помощью аксиомы. Таким образом метод развивался далее и в некотором смысле покорил вершину.
Аксиоматические теории превратились в самостоятельные конкретные объекты математики, получили название «формальных систем», их начали изучать методами математики.
Более того, стала строиться так называемая «метатеория» ответвление, разобранное в трудах Гильберта, иное название – метод формализации и математического обоснования. Иными словами, XX век запомнился состоявшимся в нём третьим этапом становления аксиоматической методики.
Пример аксиоматического метода
Все математические теории формировались примерно одинаково
В наши дни построение аксиоматики для любой сферы математической науки выглядит следующим образом в первую очередь идет перечисление понятий без определения.
Затем перечисляются аксиомы, для которых установлены какие-либо связи между базовыми терминами, далее следует выведение следующих понятий.
А вслед за этим, на основании начальных утверждений из аксиом будут доказаны следующие – теоремы.
Любая известная математикам теория проходила формирование по одному из 2 путей:
- Вариант, при котором математическая теория достигает значительной степени усовершенствования и затем становится, по существу, аксиоматической. Так, аксиоматизацию претерпели: арифметика (аксиоматическая система Д. Пиано), геометрия (системы Д. Гильберта, М. Пиери и др.), теория вероятности (А.Н. Колмогорова) и др..
- Путь, основанный на обнаружении сильного соответствия главных свойств отличных друг от друга теорий. Для их становления возникла идея выделения схожих черт, на основании которых и будет построена теория. Возник великолепный шанс смешивания разных методов, вольной интерпретации понятий и аксиом и открыло широкий простор использования данных теорий. Этого пути придерживались теория групп, теория колец, теория полей и др..
Базис определяется, исходя из опыта, следовательно, все утверждения, хоть и выводятся абсолютно логическим путем, всё же тесно переплетены с реальностью и часто применяются в жизни.
Примеры Аксиоматических теорий
Рассмотрим концепции, развитые обоими вариантами:
- Теория конгруэнтности расстояний. Есть R множество расстояний и ≅ отношение, называемое коэффициентом конгруэнтности, таким образом, что выражение c ≅ k обозначает следующее: расстояние c конгруэнтно расстоянию k. Как аксиомы приняты эти положения:
E1. Для любого c из R c ≅ c.
E2. Для любых элементов c, k, t из R, если c ≅ t и k ≅ t, то c ≅ k
Теорема: Для произвольных компонентов c и t из R, если k ≅ t, то t ≅ k
Док-во: В соответствии с аксиомой E2, заменив t на c, получим, что если t ≅ t и k ≅ t, то t ≅ k. Поскольку член конъюнкции t ≅ t истинен (E1), то из конъюнкции его исключим и получим, что t ≅ k.
- Теория о натуральных числах, созданная Д. Пеано. Построена на определениях непустого множества E, бинарного отношения «‘», а также выделенного элемента «1». В ней выбраны такие аксиомы: (K1) (∀ c) (c ≠ 1), (K2) (∀ c, t) (c = t → c = t), (K3) (∀ c, t) (c = t → c = t), (K4) (1∈S ^ (∀ c (c∈S→ c∈S)) →S=R.
Ниже приведено доказательство теоремы, выведенной из вышеперечисленных аксиом.
(∀ с) (с ≠ с)
Док-во: Рассматриваем совокупность T = {c ∈ R: c ≠ c }. Воспользуемся последней из аксиом (K4):
- 1 ∈ T, ведь 1≠ 1 по аксиоме K1,
- Пускай, c ∈ T, иными словами. с ≠ с. В таком случае, согласно третей из аксиом, (c) ≠ c. Откуда с ∈ T
Четвертая аксиома соблюдена, поэтому T=R (K4), что в свою очередь означает, что (∀ с) (с ≠ с). Теорема доказана.
Выстраивание теории о множествах Кантора, с опорой на ряд аксиоматических систем. В сумме рассматриваются 2 системы.
Базовые определения теории K – двойные функции (∩, ∪), единичная «‘», нульарные (0 и 1). Аксиоматическая система такой теории является симметричной относительно четырех видов операций: ∩, ∪, 0, 1.
(K1) c ∩ t = t ∩ c.
(K2) c ∪ t = t ∪ c.
(K3) c ∩ (t ∪ e) = (c ∩ t) ∪ (c ∩ e).
(K4) c ∪ (t ∩ e) = (c ∪ t) ∩ (c ∪ e).
(K5) c ∩ 1 = c.
(K6) c ∪ 0 = c.
(K7) c ∩ c = 0.
(K8) c ∪ c = 1.
Начальные определения теории номер 2 – двойная операция ∩ и унарная операция . Система аксиом этой теории, напротив, является ассиметричной, она «сдвинута» к операции ∩.
(L1) c ∩ t = t ∩ c.
(L2) (c ∩ t) ∩ e = c ∩ (t ∩ e).
(L3) c ∩ t = e ∩ ez ⇒ c ∩ t = c.
(L4) c ∩ t = c ⇒ c ∩ t = e ∩ e.
Заключение
Становление науки двадцатого столетия указало на то, что математику выделяет среди прочих областей знания как раз использование аксиоматического метода очень широко. Он в большой доле определяет высокую эффективность математики при познании мира и преобразующего воздействия на него.
В этом видео вы узнаете об аксиоматическом методе в контексте решения задач: